Propeller Efficiency Mathematical Analysis

Controllable pitch propellers, Azimuth propellers, Vertical axis propellers, Paddle wheels နဲ႔ Shrouded propellers ေတြရယ္လို႔အမၽိဳးအစားေတြ ကြဲၿပားေပမယ္႔၊ Mathematical Analysis မွာေတာ႔ အားလံုးဟာအတူတူပဲရယ္လို႔၊ သတ္မွတ္ထားတာကိုေတြ႕ရသလို၊ Propellers ေတြရဲ႕ Efficiency နဲ႕ပက္ သက္သမၽွ မွတ္သားမိသေလာက္ကိုေဖာ္ၿပပါဦးမယ္။

Propeller ကို Actuator Disc တစ္ခုအၿဖစ္စဥ္းစားၿပီး၊ Disc လည္ပတ္မွဳေႀကာင္႕၊ ေရကို Axial Acceleration ၿဖစ္ေပါါေစတယ္လို႕ယူဆပါတယ္။

A = Area of actuator disc
P_o = Ambient pressure ( Pressure of water initially and finally )
dp = Increase in pressure at the tip of the disc
v_a = Speed of advance of the screw
av_a = Initial velocity of water နဲ႕
bv_a = Final velocity of water...ရယ္လို႕သတ္မွတ္ပါတယ္။

Disc နဲ႔ ယက္ထုတ္လိုက္တဲ႔၊ ေရ ရဲ႕ အလၽွင္ Velocity of Water ဆက္သြယ္ခၽက္အေနနဲ႔

v_a + av_a = v_a(1+a)

အၿဖစ္တြက္ထုတ္ယူကာ၊ "a" ကို Axial inflow factor အၿဖစ္ယူဆပါတယ္။ Propeller တပါတ္၊ တနည္း အားၿဖင္႔ Disc တပါတ္လည္တိုင္း သက္ေရာက္မွဳေႀကာင္႔၊ ေပါါေပါက္လာမယ္႔၊ ေရထုထည္ပမာဏ Mass of water ကို M လို႔သတ္မွတ္ပါတယ္။ အဲဒီအခါ 

M= (Density X Volume of water)/ Time = ρ X Area X (Length/ Time) = ρ X Area X Velocity နဲ႔
Density = ( Mass/ Volume) =  ρ A v_a (1+a) ရယ္လို႕တြက္ထုတ္ယူနိုင္ၿပီး၊

M = ρ A v_a (1+a)

အၿဖစ္သတ္မွတ္ပါတယ္။ နယူတန္ရဲ႕ တတိယနိယာမအရ၊ Propeller မွ၊ ေရကို ယက္ထုတ္လိုက္တဲ႔ အတြက္၊ Thrust Force Acting ၿဖစ္ေပါါလာကာ သေဘ္ာဟာေရြွ႕လၽားပါတယ္။ အဲဒီအခါ၊ အဟုန္ဆိုတဲ႔ Momentum ၿဖစ္ေပါါလာၿပီး၊ " Momentum = Mass X Velocity" ၿဖစ္တဲ႔အတြက္၊

Momentum = Mass X Velocity = ρ A v_a (1+a) X bv_a

အၿဖစ္သတ္မွတ္နိဳင္ပါတယ္။ Momentum ကို၊ Thrust အေနနဲ႔ ေၿပာင္းလဲတဲ႔အခါ၊

Thrust ( T ) = ρ A v_a² ( 1 + a ) b

ကိုရရိွလာပါတယ္။ Thrust ေႀကာင္႕သေဘ္ာဟာေရြ႕လၽားခဲ႔ရၿပီး၊ သေဘ္ာကိုအလၽွင္နဲေ႔ရြလၽားေစၿခင္းဟာ Work done ၿဖစ္တာမို႔၊ Work Done ကိုစဥ္းစားႀကည္႔တဲ႔အခါ၊ 

Work Done = Thrust X Velocity
Work Done = T X av_a
Work Done = ρ A v_a² ( 1 + a )b X av_a
Work Done = ρ A v_a³( 1 + a ) X ab တနည္းအားၿဖင္႕

Work Done = ρ A v_a³( 1 + a ) X ab

ၿဖစ္ပါတယ္။ Water column မွာၿဖစ္ေပါါလာမယ္႔ Kinetic Energy ကို

Kinetic Energy (K.E) = ρ A v_a³( 1 + a ) X ab = ρ A v_a³( 1 + a ) b² / 2 ရယ္လို႕ယူဆနိုင္ၿပီး၊ Work Done = Kinetic Energy ၿဖစ္တဲ႕အတြက္

Work Done = ρ A v_a³( 1 + a ) X ab = ρ A v_a³( 1 + a ) b² / 2

ရယ္လို႔ၿဖစ္ေပါါလာပါတယ္။ "a = b/2" လို႔သတ္မွတ္ကာ၊ Disc ရဲ႕ ဧရိယာတဝက္ကိုသာ ေရဟာထိေတြ႔ၿပီး၊ အလၽွင္ကိုၿဖစ္ေပါါေစတယ္လို႔ ယူဆပါတယ္။ ဒါေႀကာင္႔ Useful Work Done အေနနဲ႔

Useful Work Done = ρ A v_a² ( 1 + a ) b X v_a = ρ A v_a³ ( 1 + a )b

လို႔သတ္မွတ္နိဳင္ပါတယ္။ "Total Work Done" ဟာအထက္ေဖာ္ၿပပါ၊ Work Done (၂) ခု ေပါင္းလဒ္ၿဖစ္ၿပီး

Total Work Done = ρ A v_a³ ( 1 + a )b + ρ A v_a³( 1 + a ) X ab = ρ A v_a³ (1+a) [ ab + b ]

တနည္းအားၿဖင္႔ "Useful Work Done" ဟာ Input ၿဖစ္ၿပီး၊ "Total Work Done" ဟာ Output ၿဖစ္ပါတယ္။ Efficiency ဟာ Input နဲ႕ Output ရဲ႕ အခၽိဳးၿဖစ္တာမို႔ 

Efficiency (η) = (ρ A v_a³ ( 1 + a )b) /( ρ A v_a³ (1+a) [ ab + b ] ) = 1/ (1+a)

ရယ္လို႕တြက္ယူနိဳင္ပါတယ္။ Efficiency ( η ) ဟာ၊ Ideal Efficiency ၿဖစ္ၿပီး၊ "a" ဆိုတဲ႔၊ Axial inflow factor ေသးငယ္ေလေလ၊ Efficiency ႀကီးမားေလေလရယ္လို႔သိနိဳင္ၿပီး၊ သေဘ္ာရဲ႕ Speed နဲ႔ Thrust ပမာဏမၽားမၽားရေစဖို႔ Disc သို႔မဟုတ္ Propeller မွယက္ထုတ္လိုက္တဲ႔ ေရရဲ႕အလၽွင္ Velocity ပမာဏ မၽားဖို႔လိုအပ္ပါတယ္။

တကယ္ေတာ႔အေပါါမွာေရးသားေဖာ္ၿပခဲ႔တာေတြဟာ Axial Velocity အေနနဲ႔သာ၊ အေၿခခံ စည္းစားခဲ႔တာ ၿဖစ္ၿပီး၊ Propeller ဟာလည္ပတ္ရင္းေရြ႕လၽားတာမို႔၊ ( a' ) ဆိုတဲ႔ Rotational inflow factor ကိုထည္႔သြင္း စဥ္းစားဖို႔လိုလာပါတယ္။ အဲဒီအခါ လည္ပတ္မွဳေႀကာင္႔ ေပါါေပါက္လာမယ္႕ Rotational Velocity အၿဖစ္ စဥ္းစားႀကည္႔ၿခင္းမွ Overall Efficiency ( η) ရယ္လို႔ၿဖစ္ေပါါလာရပါတယ္။

Overall Efficiency ( η)  = ( 1 - a' )/ ( 1 + a)

a' =  Rotational inflow factor

အထက္မွာေရးသားေဖာ္ၿပခဲ႔တဲ႔ Mathematical Analysis မွာ၊ Propeller ကို Actuator Disc တစ္ခုအၿဖစ္ သာ စဥ္းစားၿပီး၊ လည္ပတ္ယက္ထုတ္လိုက္ၿခင္းေႀကာင္႔ Propeller Blade ေတြႀကားမွာ ၿဖစ္ေပါါ မယ္႔ Hydraulic Losses ေတြကိုလစ္လၽဴရွဳထားပါတယ္။

လက္ေတြ႔မွာ Propeller လည္ပတ္တဲ႔အခါ၊ Blade တိုင္းဟာ Thrust ကိုၿဖစ္ေပါါေစသလို Angular Acceleration နဲ႔ Perpendicular Distance ေတြေႀကာင္႔ Torque ကိုလည္းၿဖစ္ေပါါေစတဲအေႀကာင္းနဲ႔ Propeller Design ေတြကိုေရးဆြဲတဲ႔အခါ၊ Hydro-dynamics သို႔မဟုတ္ Fluids Dynamics ဘာသာရပ္မွ

F x = (F g) + (F p) + (F v) + (F t) ဆိုတဲ႔၊ Reynolds’s Equation of Motion,
F x = (F g) + (F p) + (F v) ဆိုတဲ႔  Navier- Strokes Equation၊
(∂p/p) + (g × dz) + (V × dv ) = 0 ဆိုတဲ႔၊ Euler Equation of Motion နဲ႔
Eulers Degrees of Vortex ဆိုတဲ႕၊ Theory အစရိွတာေတြကိုကၽယ္ၿပန္႔စြာကိုးကားရပါတယ္။

cavitation နဲ႔ wake ကဲ႔သို႔၊ hydrodynamic ဆိုင္ရာအတားအဆီးေတြဟာ၊ boss diameter ratio ႀကီးတဲ႔ screw propeller ေတြရဲ႕၊ efficiency ကိုကၽဆင္းေစပါတယ္။ CPP System ဟာ၊ သေဘ္ာရဲ႕ maneuverability ကိုပိုေကာင္းမြန္ေစေပမယ္႔၊ Overall Efficiency ( η) ဟာ၊ FPP System နဲ႔နိွဳင္းယွဥ္ရင္၊ နည္းတာကိုေတြ႔ရပါတယ္။

CPP ရဲ႕ boss diameter ratio (D_B/D) ဟာ၊ 0.24 ~ 0.32D ခန္႔ရိွၿပီး၊ FPP ရဲ႕ boss diameter ratio (D_B/D) ကေတာ႔၊ 0.16 ~ 0.25 ခန္႔ရိွပါတယ္။ boss diameter ratio (D_B/D) နည္းၿခင္းေႀကာင္႔၊ Overall Efficiency ( η) နည္းရပါတယ္။

pitch ဆိုတာကေတာ႔၊ X - axis ဝင္ရိုးေပါါမွာ propeller တပါတ္လည္တိုင္းေရာက္ရိွမယ္႔ distance အကြာ အေဝးၿဖစ္ပါတယ္။ အဲဒီအခါ

Propeller speed (V) = pitch x revolution 

 လို႔သတ္မွတ္နိဳင္ပါတယ္။

Fig. Propeller Slip

ဒါေပမယ္႔ သေဘ္ာ propeller ဟာ၊ ေရထဲမွာလည္ပတ္တာၿဖစ္လို႔၊ ေရရဲ႕ တြန္း အားေႀကာင္႔ slip ၿဖစ္ေပါါ လာၿပီး၊ အဲဒီ slip ဟာ propeller ရဲ႕ speed ကိုကၽဆင္းေစပါတယ္။

 

propeller pitch-diameter ratio (P/D) ကို Bp - diagram မွရယူနိဳင္ပါတယ္။ Bp နဲ႔ ကို တြက္ထုတ္ ယူတဲ႔ အခါ၊

N = the revolution of the engine at an optimum condition favorable for the propeller operation
P_D = the engine delivered horse power
V_A = speed of advance
D = diameter of the propeller စတဲ႔၊

prime mover မွအခၽက္အလက္ေတြကိုထည္႕သြင္းစဥ္းစားရပါတယ္။ Bp နဲ႔ ကိုတြက္ယူၿပီးတဲ႔အခါ၊ Bp - diagram မွ open water efficiency တန္ဘိုးနဲ႔၊ pitch diameter ratio (P/D)  တန္ဘိုးတို႔ကိုေရြးခၽယ္ ရယူနိဳင္ပါတယ္။

Fig. Bp - diagram 

pitch diameter ratio P/D တန္ဘိုးကိုမွန္ကန္စြာေရြးခၽယ္ဖို႔အေရးႀကီးပါတယ္။ အကယ္၍ မွားယြင္းေရြးခၽယ္ မိရင္၊ engine ရဲ႕ out put power နဲ႔ speed ၿခင္းတူေပမယ္႔၊ propeller diameter နဲ႔ pitch တန္ဘိုးပိုႀကီး တဲ႔သေဘ္ာမွာ၊ engine over load ၿဖစ္ေပါါမွာၿဖစ္ပါတယ္။

Propeller blade အၿဖစ္အသံုးၿပဳေလ့ရိွတဲ႔၊ material အမၽိဳးအစားေတြကေတာ႔၊ Cast steel, Special propeller bronze, Ni - Al - bronze, Nodular cast iron, Special cast iron, Ordinary cast iron နဲ႔ Gun metal တို႔ၿဖစ္ပါတယ္။ Propeller blade ရဲ႕ Thickness ကိုတြက္ယူတဲ႔အခါ၊ Taylor's method ကိုအသံုးၿပဳႀကပါတယ္။ strength calculation ကိုလည္းထည္႔သြင္းတြက္ခၽက္ရသလို၊

Minimum thickness of the blade = Radius 0.2 R of the ship's propeller 

ဆိုတဲ႔ပံုေသနည္းကို၊ အေၿခခံပါတယ္။ Taylor's method အရ၊ Propeller Strength Calculation တြက္ခၽက္ နိဳင္သလို၊ Classification Societies ေတြကလည္း၊ propeller အတြက္အသံုးၿပဳမယ္႔ material  properties ေတြနဲ႔၊ ပက္သက္ၿပီး၊ သတ္မွတ္ေပးထားပါတယ္။

Classification Society တခုၿဖစ္တဲ႔၊ DNV (Det Norske Veritas) မွ၊ သတ္မွတ္ထားတာကေတာ႔

- Propeller Material (Cast steel) = Minimum ultimate tensile stress 41 kg/mm² = Minimum Elongation 20 %
- Propeller Material (Special propeller bronze) = Minimum ultimate tensile stress 45 kg/mm² = Minimum Elongation 20 %
- Propeller Material (Ni - Al - bronze) = Minimum ultimate tensile stress 60 kg/mm² = Minimum Elongation 16 % 
- Propeller Material (Nodular cast iron, heat treated) = Minimum ultimate tensile stress 40 kg/mm² = Minimum Elongation 15 %
- Propeller Material (Nodular cast iron, not heat treated) = Minimum ultimate tensile stress 40 kg/mm² = Minimum Elongation 3 %  
- Propeller Material (Special cast iron) = Minimum ultimate tensile stress 55 kg/mm² = Minimum Elongation 0 %
- Propeller Material (Ordinary cast iron) = Minimum ultimate tensile stress 24 kg/mm² = Minimum Elongation 0 %   
- Propeller Material (Gun metal) = Minimum ultimate tensile stress 14 kg/mm² = Minimum Elongation 8 %    တို႔ၿဖစ္ပါတယ္။

ဒါ႔အၿပင္ အသံုးၿပဳမယ္႔ prime mover ဟာ၊ reciprocating engine, turbine နဲ႔ diesel electric အမၽိဳးအစား အစရိွတဲ႔အခၽက္အလက္ေတြနဲ႔၊ တတ္ဆင္မယ္႔ propeller ဟာ single screw သို႔မဟုတ္ twin screw ၿဖစ္ခဲ႔ရင္၊ propeller blade material ရဲ႕ density နဲ႔ design stress တို႔ဟာ၊ ကြာၿခားမွဳရိွတာကိုေတြ႔ရ ပါတယ္။
ဒီေနရာမွာ၊ John Charlton ေရးသားထားတဲ႔၊ Marine Propellers and Propulsion, 2nd ed. (2006) စာအုပ္ကို ရယူနိဳင္ပါတယ္။

Credit to : ကိုထြန္း 

Reference : Marine Propellers and Propulsion written by John Charlton, 2nd ed. (2006), Introduction to Naval Architecture written by Tupper, E.C, 4th ed. (2004),

Remark : All images herein this website are for use of educational purpose only. The owner of this web site is not responsible for the consequences in case of violation to copyright, trademark, patent or other intellectual property rights of any third party.